Найти общий интеграл уравнения:
\[{y^2}dx - (2xy + 3)dy = 0\]

Решение

Решение будем искать в виде функции \(x = x(y).\)
<br />
\({y^2}\dfrac{{dx}}{{dy}} - 2xy - 3 = 0\mid :{y^2}\) \(\quad\Rightarrow\quad\)

\(x' - \dfrac{{2x}}{y} = \dfrac{3}{y^2}.\) Получили вид линейного уравнения первого порядка относительно функции \(x = x(y)\), т.е. \(x^\prime + p(y)x = q(y).\)
<br />
Пусть \(x = u(y)v(y)\). Тогда \({x_y^\prime = {u^\prime }v + {v^\prime }u}\)
и
\[{u^\prime }v + {v^\prime }u - \frac{2}{y}uv = \frac{3}{y^2}\]

\[{u^\prime}v + u \left( {v^\prime } - \frac{2}{y}v \right) = \frac{3}{y^2}\]

Приравняв скобку нулю, найдём функцию \(v:\quad\)
\({v^\prime } - \dfrac{2}{y}v = 0 \Leftrightarrow\) \({v^\prime } = \dfrac{2}{y}v \Leftrightarrow \dfrac{dv}{dy} = \dfrac{2}{y}v \Leftrightarrow \dfrac{dv}{v} = {\ln |v| = 2\ln |y| + C} \Leftrightarrow v = {y^2} \cdot {C_1}.\)

Ответ: .