Окружность \(\Omega_1\) с центром \(O_1\) пересекает окружность \(\Omega_2\) с центром \(O_2\) в точках \(A\) и \(B\). При этом точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат вне \(\Omega_2\) и \(\Omega_1\) соответственно. Касательная к окружности \(\Omega_2\) в точке \(A\) пересекает \(\Omega_2\) в точках \(A\) и \(C\). Касательная к окружности \(\Omega_1\) в точке \(A\) пересекает \(\Omega_2\) в точках \(A\) и \(D\). Найдите угол между прямыми \(O_{1}C\) и \(O_{2}D\), если известно, что \(\angle AO_{1}B = 36^{\circ} и \angle AO_{2}B = 64^{\circ}\)

Решение

Заметим, что \(\angle BAD = \frac{1}{2} \angle AO_{1}B = 18^{\circ}\) и аналогично, \(\angle BAС = \frac{1}{2} \angle AO_{2}B = 32^{\circ}\). Далее, \(\angle DAO_2 = 90^{\circ} - (\angle BAС + \angle BAD) = 40^{\circ}\) и \(\angle CAO_1 = 90^{\circ} - (\angle BAС + \angle BAD) = 40^{\circ}\). Поскольку треугольники \(CAO_1\) и \(DAO_2\) равнобедренные, \(\angle ACO_1=\angle CAO_1 = 40^{\circ}\) и \(\angle ADO_2=\angle DAO_2 = 40^{\circ}\). Так как \(\angle ACO_1 > \angle BAC\), то точка пересечения прямой \(O_{1}C\) с прямой \(AB\) лежит за точкой \(B\). Аналогично, так как \(\angle ADO_2 > \angle BAD\), то точка пересечения прямой \(O_{2}D\) с прямой \(AB\) лежит за точкой \(B\). Стало быть, искомый угол равен \(\angle ACO_1 - (\angle BAС+\angle BAD)+\angle ADO_2=40^{\circ}-50^{\circ}+40^{\circ}=30^{\circ}\)

Ответ: \(30^{\circ}\).