Дан \(\href{https://examp.info/onedef/parallelepiped/}{\text{параллелепипед}}\) \(ABCDA'B'C'D'\) объема 1 с основаниями \(ABCD\) и \(A'B'C'D'\) и боковыми ребрами \(AA'\),\(BB'\),\(CC'\),\(DD'\). На ребрах \(AB\), \(B'C'\), \(CD\) и \(A'D'\) отмечены точки \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) соответственно. Известно, что \(AK:KB=CM:MD=1:3\) и \(B'L:LC'=D'N:NA'=1:2\). Найдите объем тетраэдра \(KLMN\).

Решение

Обозначим через \(K',\) \(L',\) \(M',\) \(N'\) соответственно проекции точек \(K,\) \(L,\) \(M,\) \(N\) на рёбра \(A'B',\) \(BC,\) \(C'D'\) и \(AD\) параллельно ребру \(AA'.\) Четырехугольник \(KL'MN'\) является параллелограммом, значит, многогранник \(KL'MN'K'LM'N\) является параллелепипедом и объем тетраэдра \(KLMN\) равен трети объема этого параллелепипеда. Отношение площадей параллелограммов \(KL'MN'\) и \(ABCD\) равно \(1-\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}\right)=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}\). Следовательно, \(\href{https://examp.info/theorem/ob-obeme-piramidy/ }{\text{объем тетраэдра}}\) \(KLMN\) равен \(\frac{1}{3}\cdot\frac{7}{12}=\frac{7}{36}.\)

Ответ: \(\frac{7}{36}\).