Решите неравенство: \(3^x - 2^{x+1} \leqslant \sqrt{2 \cdot 9^x - 10 \cdot 6^x + 2^{2x+3}}. \)

Решение

Разделим обе части неравенства на \(2^x.\) Получим:

\[\left(\dfrac{3}{2} \right)^2 - 2 \leqslant \sqrt{\left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^x\right)^2 - 10 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^x + 8}.\]

Положим \(t = \left(\dfrac{3}{2}\right)^x .\) Тогда исходное уравнение будет эквивалентно следующему: \(\\\)

\[t - 2 \leqslant \sqrt{2t^2 - 10t + 8} \quad\Leftrightarrow\]

\[ \Leftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} t \leqslant 2, \\ 2t^2 - 10t + 8 \geqslant 0, \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} t > 2, \\ (t - 2)^2 \leqslant 2t^2 - 10t + 8. \end{array}\right. \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow \]

\[ \Leftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} t \le 2, \\ (t - 1)(t - 4) \geqslant 0, \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} t > 2, \\ t^2 - 6t + 4 \leqslant 0. \end{array}\right. \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\quad\left[\begin{array}{l} t \leqslant 1, \\ t \geqslant 3 + \sqrt{5}. \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow \]

\[\Leftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} \left(\dfrac{3}{2}\right)^x \leqslant \left(\dfrac{3}{2}\right)^0, \\ \left(\dfrac{3}{2}\right)^x \geqslant \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\log_{\frac{3}{2}} (3 + \sqrt{5})}. \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\]

\[ \Leftrightarrow\quad x \in (-\infty, 0] \cup [\log_{\tfrac{3}{2}} (3 + \sqrt{5}), +\infty).\]

Ответ: \((-\infty, 0] \cup [\log_{\tfrac{3}{2}} (3 + \sqrt{5}), +\infty)\).