В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) проведены биссектриса \(AL\) и высота \(CH\). Найдите косинус угла \(\angle BAC,\) если \(HL \parallel AC. \)

Решение

1. Пусть \(t = \cos \angle BAC\).

Поскольку \(AL\) \(-\) биссектриса, \( \dfrac{CL}{LB} = \dfrac{AC}{AB} = t\) (\( \href{https://examp.info/theorem/bissektrisy-vnutrennego-ugla/}{\text{по свойству биссектрисы внутреннего угла}}\)).

2. \(\triangle ABC \sim \triangle CHL\quad (\angle CAH = \angle HCL, \angle ACB=\angle CLH=90^{\circ})\) \(\Rightarrow\) \(t = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{CL}{CH} = \dfrac{CL}{LB} \) \(\Rightarrow\) \( CH = LB\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ACH = \triangle HCB \) (по катету и острому углу) \(\Rightarrow\) \(AH = LH \) и \(AC = HB. \)

3. \(CH^2 = AH \cdot BH = AC \cdot AH = AC^2 - AH^2; \quad AH = t \cdot AC\) \(\Rightarrow\)

\(\Rightarrow\quad AC^2\cdot t = AC^2 - AC^2 \cdot t^2 \quad\Leftrightarrow \quad t^2 + t - 1 = 0 \quad\Leftrightarrow \quad t = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}. \)

\(\left| \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} \right| > 1 \quad\Rightarrow\quad \cos \angle BAC = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}. \)

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\).