Диагонали выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(F.\) Известно, что \(AD = 30\) см, \(CF = 16\) см, а площади треугольников \(AFB, BFC, CFD\) равны 40 см\(^2\), 80 см\(^2\), 120 см\(^2\) соответственно. Какие значения может принимать величина угла \(DAC\)?

Решение

1. Заметим, что \(\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha. \text{ } \Rightarrow \text{ } \sin \angle AFB = \sin \angle BFC = \sin \angle DFC =t\).

Тогда \[\left\{\begin{array}\\S_{\triangle AFB} = \dfrac{1}{2} \cdot t \cdot AF \cdot BF \\S_{\triangle BFC} = \dfrac{1}{2} \cdot t \cdot BF \cdot FC \\S_{\triangle DFC} = \dfrac{1}{2} \cdot t \cdot DF \cdot FC \end{array}\right. \text{ } \Rightarrow \text{ } \left\{\begin{array}\\\dfrac{1}{2} \cdot t \cdot AF \cdot BF = 40\\\dfrac{1}{2} \cdot t \cdot BF \cdot 16 = 80 \\\dfrac{1}{2} \cdot t \cdot DF \cdot 16 = 120 \end{array}\right. \text{ } \Rightarrow \text{ } \left\{\begin{array}\\AF = 8\\t \cdot BF = 10 \\ t \cdot DF = 15 \end{array}\right.\]

2. Пусть \(x = \sin \angle DAC.\)

Тогда \(S_{\triangle DFC} = 120 = S_{\triangle ADC} - S_{\triangle AFD} = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot 24 \cdot 30 - \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot 8 \cdot 30 = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot 16 \cdot 30 \text{ } \Rightarrow \text{ } 120 = 240x \text{ } \Rightarrow \text{ } x = \dfrac{1}{2}.\)
Итак, \(\sin \angle DAC = \dfrac{1}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } \angle DAC = 30^{\circ} \text{ или } 150^{\circ}\).

Ответ: \(30^{\circ}\) или \(150^{\circ}\).