Решите уравнение: \(6\sin x \cdot \cos^2 x - 9\sin 2x + 10\sin^3 x = 0.\)

Решение

Воспользуемся формулой синуса двойного угла \(\sin 2\alpha = 2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha\) :

\[ 6\sin x \cdot \cos^2 x - 18\sin x \cdot \cos x + 10\sin^3 x = 0
\Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow 2\sin x \cdot(3\cos^2 x - 9\cos x + 5\sin^2 x) = 0
\Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow \sin x \cdot(3\cos^2 x - 9\cos x + 5(1 - \cos^2 x)) = 0
\Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow \sin x \cdot(-2\cos^2 x - 9\cos x + 5) = 0
\Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow \sin x \cdot(2\cos^2 x + 9\cos x - 5) = 0
\Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow 2\sin x \cdot\left(\cos x - \dfrac{1}{2}\right) \cdot(\cos x + 5) = 0
\Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow \left[\begin{array}\\\sin x = 0 \\\cos x = \dfrac{1}{2}\end{array}\right. \Leftrightarrow \]\[ \Leftrightarrow \left[\begin{array}\\x = \pi k, k \in \mathbb Z \\x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb Z\end{array}\right. \]

Ответ: \(\pi k; \text{ } \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \text{ } n, \text{ } k \in \mathbb Z \).