Найдите все пары положительных чисел \(x, y\), удовлетворяющих уравнению

\[\log_{2x^2 y + 1} (x^4 + y^2 + 1) = \log_{y^4 + x^2 + 1} (2xy^2 + 1).\]

Решение

\[x^4 + y^2 + 1 - 2x^2 y - 1 = x^4 - 2x^2y + y^2 = (x^2 - y)^2 \geqslant 0 \ \Rightarrow\]\[\Rightarrow\ 2x^2 y + 1 \leqslant x^4 + y^2 + 1, \]\[\text{и равенство достигается}\ \Leftrightarrow\ y = x^2 .\]

Аналогично,
\[2xy^2 + 1 \leqslant y^4 + x^2 + 1,\]\[\text{и равенство достигается}\ \Leftrightarrow\ x = y^2 .\]

Таким образом,
\[\log_{2x^2 y + 1} (x^4 + y^2 + 1) \geqslant 1 \geqslant \log_{y^4 + x^2 + 1} (2xy^2 + 1),\]\[\text{и равенство достигается}\ \Leftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} y = x^2 \\ x = y^2 \end{array}\right. \ \Leftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} x = y = 0 \\ x = y = 1 \end{array}\right. .\]
Поскольку \(x, y > 0, \) имеем \[x = y = 1.\]

Ответ: \(x = y = 1\).