Числа \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{20}\) образуют \( \href{https://examp.info/onedef/arifmeticheskaya-progressiya/}{\text{арифметическую прогрессию}}\). Известно, что сумма первых десяти членов этой прогрессии равна \(9\), а сумма последних десяти членов равна \(11\). Найдите сумму \(a_6 + a_7 + \ldots+ a_{14} + a_{15}.\)

Решение

Пусть \(d\) \(-\) разность прогресии, тогда \(a_6=a_1+5d\), значит:
\[a_1 +a_2 + \ldots+ a_{10}=10a_1+45d=10(a_1+5d)-5d=10a_6-5d=9.\]
Аналогично \(a_{15}=a_1+14d\), значит:
\[a_{11} + \ldots + a_{20}=10a_1+145d =10(a_1+14d)+5d=10a_{15} + 5d = 11.\]
Стало быть по сумме \(n\) членов \( \href{https://examp.info/onedef/arifmeticheskaya-progressiya/}{\text{арифметической прогрессии}}\):
\[a_6 + a_7 + \ldots + a_{14} + a_{15} = \dfrac{10(a_6 + a_{15})}{2}=\dfrac{9+5d+11-5d}{2} = 10.\]

Ответ: 10.