Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости: \(\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}} \frac{{\sqrt[3]{{n + 2}}}}{{n + 1}}{(x - 2)^n}.\)

Решение

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\sqrt[3]{{n + 3}}{{(x - 2)}^{n + 1}}}}{{(n + 2)}} \cdot \frac{{(n + 1)}}{{\sqrt[3]{{n + 2}}{{(x - 2)}^n}}}} \right| = \left| {\frac{{\sqrt[3]{{n + 3}}}}{{\sqrt[3]{{n + 2}}}} \cdot \frac{{n + 1}}{{n + 2}}(x - 2)} \right| = \left| {x - 2} \right|\]
На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (и притом абсолютно), если \[\left| {x - 2} \right| < 1\] т.е. при \[1 < x < 3\], ряд расходится при \[\left| {x - 2} \right| > 1\]т.е. при \[ - \infty < x < 1\] или \[3 < x < + \infty \]
При \[x = 1;\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}} \frac{{\sqrt[3]{{n + 2}}}}{{n + 1}}{( - 1)^n} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\sqrt[3]{{n + 2}}}}{{n + 1}} \sim } \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^{^{2/3}}}}};n \to \infty } \]
Получаем ряд Дирихле, в котором \[p = \frac{2}{3}\] следовательно он расходится.
При \[x = 3\] \[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{( - 1)}^n}} \frac{{\sqrt[3]{{n + 2}}}}{{n + 1}}{1^n}\]
\[\begin{array}{l}
|{a_n}| = \frac{{\sqrt[3]{{n + 2}}}}{{n + 1}};\left| {{a_{n + 1}}} \right| = \frac{{\sqrt[3]{{n + 3}}}}{{n + 2}};\\
\frac{{\sqrt[3]{{n + 2}}}}{{n + 1}} \vee \frac{{\sqrt[3]{{n + 3}}}}{{n + 2}}\\
\frac{{n + 2}}{{{{(n + 1)}^3}}} \vee \frac{{n + 3}}{{{{(n + 2)}^3}}}\\
{(n + 2)^4} \vee (n + 3){(n + 1)^3}\\
{(n + 2)^4} \vee (n + 3){(n + 1)^3} \Rightarrow {a_{n + 1}} < {a_n}
\end{array}\]
По признаку Лейбница ряд сходится неабсолютно (условно)