Решите уравнение \(4 \sin 2x \cos 3x - 2\sin 5x = \mathop{\mathrm{tg}} 2x.\)

Решение

Используя \(\href{https://examp.info/theorem/preobrazovaniya-summy-i-proizvedeniya-trigonometricheskih-funkcij/}
{\text{формулы преобразование тригонометрических выражений}}\), получаем:
\[
4\sin 2x \cos 3x = 2 \cdot 2\sin 2x \cos 3x = 2(\sin(2x+3x) + \sin(2x-3x)) = 2(\sin 5x + \sin(-x)) = 2\sin 5x - 2\sin x.
\]
Подставляем в исходное уравнение:
\[
(2\sin 5x - 2\sin x) - 2\sin 5x = \mathop{\mathrm{tg}} 2x
\quad\Leftrightarrow\quad
-2\sin x = \mathop{\mathrm{tg}} 2x
\quad\Leftrightarrow\quad
\]\[
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{\sin x(2 \cos 2x + 2 \cos x)}{\cos 2x} = 0
\quad\Leftrightarrow\quad
\]\[
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{\sin x(2 \cos^2 x + \cos x - 1)}{\cos 2x} = 0
\quad\Leftrightarrow\quad
\]\[
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{\sin x(2 \cos x - 1)(\cos x + 1)}{\cos 2x} = 0
\quad\Leftrightarrow\quad
\]\[
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\sin x = 0 \\
\cos x = -1 \\
\cos x = \frac{1}{2} \\
\cos 2x \neq 0
\end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad
\]\[
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
x = k\pi \\
x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
\end{cases}
\]

Ответ: \(x = k\pi,\ \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}.\)