Докажите, что из любых 2021 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2000.

Решение

Пусть множество \(A\) состоит из 2021 целого числа, т.е. \(A=\{a_1, a_2, ..., a_{2021}\}\). Тогда под функцией \(f : A \longrightarrow B\) мы будем понимать следующее действие. Вместо чисел \(a_1, a_2, ..., a_{2021}\) мы будем рассматривать их остатки от деления на число \(2020\): \(f(a_i)=r_i\), где \(r_i\) – остаток от деления \(a_i\) на \(2020\). Таким образом, множество \(B\) может состоять не более чем из чисел \(0, 1, 2, ..., 2019\) ( \(0, 1, 2, ..., 2019\) – все возможные остатки при делении на \(2020\)). Тогда \(|B|\leqslant 2020\). Следовательно, есть хотя бы два разных элемента \(a_i, a_j \in A\), для которых \(f(a_i)=f(a_j)\). Другими словами, найдутся два различных элемента множества \(A\), имеющие одинаковые остатки при делении на \(2020\). Тогда разность этих элементов имеет остаток ноль при делении на \(2020\), т.е. разность этих элементов делится на \(2020\).

Ответ: .