Сфера касается всех рёбер тетраэдра \(ABCD\). Известно, что произведения длин скрещивающихся рёбер равны. Известно также, что \(AB=3,BC=1\). Найдите \(AC\).

Решение

Обозначим за \(K_1,K_2,K_3,K_4,K_5,K_6\) точки касания сферы и тетраэдра так как показано на рисунке.
По \(\href{https://examp.info/theorem/o-kasatelnyh/}
{\text{свойству отрезков касательных}}\) расстояния от вершины \(A\) до точек касания сферы с рёбрами \(AB,AC,AD\) равны. Обозначим это расстояние \(a\). Соответствующие расстояния от вершин \(B,C,D\) обозначим \(b,c,d\) соответственно.
Тогда \(AB = a + b = 3, BC = b + c = 1, AC = a + c, AD = a + d, BD = b + d, CD = c + d.\)

Условие о равенстве произведений скрещивающихся рёбер даёт:
\[
(a + b)(c + d) = (a + c)(b + d) = (a + d)(b + c).
\]

Рассмотрим равенство второго и третьего произведений:

\((a + c)(b + d) = (a + d)(b + c)
\quad\Leftrightarrow\quad
ab + ad + bc + cd = ab + ac + bd + cd
\quad\Leftrightarrow\quad\)

\(\quad\Leftrightarrow\quad
ad + bc = ac + bd
\quad\Leftrightarrow\quad
ac + bd - ad- bc = 0
\quad\Leftrightarrow\quad
(a - b)(c - d) = 0.\)

Таким образом, либо \(a = b\), либо \(c = d\).

Теперь рассмотрим равенство первого и третьего произведений:

\((a + b)(c + d) = (a + d)(b + c)
\quad\Leftrightarrow\quad
ac + ad + bc + bd = ab + ac + bd + cd
\quad\Leftrightarrow\quad\)

\(\quad\Leftrightarrow\quad
ad + bc = ab + cd
\quad\Leftrightarrow\quad
ab + cd - ad - bc = 0
\quad\Leftrightarrow\quad
(a - c)(b - d) = 0.\)

Значит, либо \(a = c\), либо \(b = d\).

Если \(a=c\), то \(AB=BC\), а это не так. Значит, \(b=d\). Тогда либо \(a=b\), либо \(c=b\). Если \(a=b\), то \(AC=BC=1\), что противоречит неравенству треугольника. Значит, \(c=b\), следовательно \(AC=AB=3\).

Ответ: 3.