Произведение двух натуральных чисел \(m\) и \(n\) уменьшили на 25. Результат разделили на сумму чисел \(m\) и \(n\) с остатком. В частном получили 4, а в остатке 50. Найдите натуральные числа \(m\) и \(n\).

Решение

\( mn - 25 = 4(m+n) +50 \text{ } \Leftrightarrow \text{ } mn - 4m - 4n = 75 \text{ } \Leftrightarrow \text{ } m(n-4) = 75 + 4n \text{ } \Leftrightarrow \text{ } m = \dfrac{75+4n}{n-4}\)
\(m = \dfrac{4n - 16 + 91}{n-4} = \dfrac{4(n - 4) + 91}{n-4} = 4 + \dfrac{91}{n - 4}\)
Поскольку \(m\) и \( n\) - натуральные числа, необходимо взять такое \( n,\) чтобы дробь была натуральным числом. Делителями \( 91\) являются следующие числа: \( 1, 7, 13, 91.\)
Отсюда получаем возможные значения \( n: 5, 11, 17, 95.\)
Если \( n = 5\), то \( m = 95\); если \( n = 95\), то \( m = 5\). Подставив эти значения в условие задачи, видим, что они нам подходят.
Если \( n = 11\), то \( m = 17\); если \( n = 17\), то \( m = 11\). Подставив эти значения в условие задачи, видим, что они нам не подходят, так как \( 11 + 17 = 28\), т.е. при делении на сумму не может получиться остаток 50.

Ответ: 95; 5.