Решите дифференциальное уравнение: \(y = xy^{\prime} - \ln y^{\prime}\)

Решение

\[p = y^{\prime}; p = \dfrac{dy}{dx}; dy = pdx\]
\[y = px - \ln p\]
Берем полный дифференциал и умножаем на \(\dfrac{p}{p}\):
\[dy = \dfrac{p^2dx+pxdp-dp}{p}\]
Далее подставляем \(dy = pdx\):
\[pdx = \dfrac{p^2dx+pxdp-dp}{p}\]
\[pdx = pdx + xdp - \dfrac{dp}{p}\]
\[\dfrac{dp}{p} - xdp = 0\]
\[dp(1-px) = 0\]
Разделим на \(1-px\):
\[dp = 0\]
\[\int_{} dp = \int{} 0dx\]
\[p = C\]
Поставим \(p\) в начальное выражение:
\[y = Cx - \ln C\]
Теперь найдем потерянное решение \(1-px=0\):
\[px = 1\]
\[\dfrac{xdy}{dx} = 1\]
Перенесем \(dy\) и найдем интеграл:
\[\int_{} \dfrac{dx}{x} = \int_{} dy\]
\[y = \ln x + C\]

Ответ: \(y = Cx - \ln C ; y = \ln x + C\).