Найдите все пары действительных чисел \((x,y)\) с наименьшим возможным значением \(y\), удовлетворяющем неравенству \(\log_{x^{2}-y} \left(x-y^{2}+\frac{7}{4} \right)\geqslant 1\)

Решение

При \(x^{2}-y > 1\) неравенство равносильно \(\href{https://examp.info/theorem/metod-racionalizacii/}{\text{по методу рационализации}}\) \(x-y^{2}+\frac{7}{4} \geqslant x^{2}-y\), то есть
\((x-\frac{1}{2})^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}\leqslant (\frac {3}{2})^{2}\).
Это неравенство задаёт круг с центром \((\frac{1}{2},\frac{1}{2})\) и радиусом \(\frac{3}{2}\). Самая нижняя точка имеет координаты \((\frac{1}{2},-1)\) и удовлетворяет ограничению \(x^{2}-y > 1\).
При \(0 < x^{2}-y < 1\) для каждой пары \((x,y)\), удовлетворяющей исходному неравенству, справедливо \(y > -1\), так как \(0<x^{2}<y+1\).
Стало быть, искомое множество состоит ровно из одной точки \((\frac{1}{2},-1)\).

Ответ: \((x,y)=(\frac{1}{2},-1)\).