Решить дифференциальное уравнение: \((xy+\sin y)dx+(0.5 \cdot x^2+x\cos y)dy\).

Решение

\[(xy+\sin y)dx+(0.5\cdot x^2+x\cos y)dy=0\\ \]
Домножим на 2:
\[2(xy+\sin y)dx+2(0.5\cdot x^2+x\cos y)dy=0\\ \]
\[(2\sin y +2xy)dx+(2x\cos y+x^2)dy=0\]
Уравнение в полных дифференциалах:
\[M(x,y)dy+N(x,y)dx=0 ,\text{где } M=2x\cos y+x^2, \hspace{0.6cm} N=2\sin y+2xy \]
Проверим на полный дифференциал:
\[ M(x,y)′_x=N(x,y)′_y = 2 \cos y +2x \\ \]
\[F(x,y)= \int N(x,y)dx=\int 2\sin y+2xy \hspace{0.2cm} dx = yx^2+2x\sin y +C(y) \\ \]
\[(yx^2+2x\sin y)′_{y}=2x\cos y+x^2\]
\[C(y)=\int M(x,y) - (yx^2+2x\sin y)′_{y}dy=0\]
\[F(x,y)=yx^2+2x\sin y+C(y) = yx^2+2x\sin y \]
Выразим C=const:
\[yx^2+2x\sin y=C\]

Ответ: \[yx^2+2x\sin y =C\].