Исследовать на абсолютную и условную сходимость:

\(\ln{(1+1)}-\ln{(1 +\frac{1}{2})}+\ln{(1 +\frac{1}{3})}-\ln{(1 +\frac{1}{4})}\)

Решение

Ряд знакочередующийся:

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\ln{(1+\frac{1}{n})}\);

Рассмотрим:
\(1+\frac{1}{n}> 1 + \frac{1}{n+1}, следовательно, \ln{(1 +\frac{1}{n})}>\ln{(1 +\frac{1}{n+1})} , следовательно, \)

\(y=\ln{(x)}\) -
возрастающая функция.

Откуда получим, что
\(\ln{(1+\frac{1}{n})}\)

монотонно стремится к 0 \(\Rightarrow\) по пр-ку Лейбница ряд сходится.
Проверим на абсолютную сходимость:
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \ln{(1+\frac{1}{n})}\);

при
\(n \to \infty; \ln{(1+\frac{1}{n})}\sim\frac{1}{n}\);

Гармонический ряд расходится:
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}, следовательно, \)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \ln{(1+\frac{1}{n})}\)
тоже расходится. Значит, исходный сходится условно.

Ответ: сходится условно.