Решите неравенство \(\log_{x-1} \left(4^{\log_3 x}-6x^{\log_3 2}+10 \right)\leqslant 0\).

Решение

Используя \(\href{https://examp.info/theorem/logarifma/}{\text{свойства логарифма}}\), получаем:
\[
\log_{x-1} \left( 4^{\log_3 x} - 6x^{\log_3 2} + 10 \right) \leqslant 0
\quad\Leftrightarrow\quad
\]\[
\quad\Leftrightarrow\quad
\log_{x-1} \left( 4^{\log_3 x} - 6 \cdot 2^{\log_3 x} + 10 \right) \leqslant 0
\quad\Leftrightarrow\quad
\]\[
\quad\Leftrightarrow\quad
\log_{x-1} \left( \left( 2^{\log_3 x} - 3 \right)^2 + 1 \right) \leqslant 0
\quad\Leftrightarrow\quad
\]\[
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{\ln \left( \left( 2^{\log_3 x} - 3 \right)^2 + 1 \right)}{\ln (x - 1)} \leqslant 0
\quad\Leftrightarrow\quad
\]\[
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\left( 2^{\log_3 x} - 3 \right)^2 + 1 = 1\\
\ln (x - 1) < 0
\end{cases}
\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
x = 3^{\log_2 3}\\
1 < x < 2.
\end{cases}
\]

Ответ: \(x\in (1;2)\cup\{3^{\log_2 3}\}\).