5. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с равными сторонами \(AB\) и \(BC\) проведены биссектрисы \(AD\) и \(CE.\) Окружность, вписанная в треугольник \(ABC,\) касается сторон \(AB\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(L\) соответственно. Найдите \(DE,\) если \(AC = 12\) и \(KL = 9.\)

Решение

Поскольку треугольник равнобедренный, \(AK = CL = \dfrac{1}{2} AC = 6.\) Из подобия треугольников \(ABC\) и \(KBL\)

\[ \dfrac{AK}{KB} + 1 = \dfrac{AK + KB}{KB} = \dfrac{AB}{KB} = \dfrac{AC}{KL} = \dfrac{4}{3}. \]
\(\\\)

Отсюда \(KB = 3AK = 18, AB = BC = 18 + 6 = 24.\) Далее, поскольку \(CE\) \(-\) биссектриса, \(\dfrac{AE}{EB} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{1}{2}.\) Стало быть, из подобия треугольников \(ABC\) и \(EBD\)

\[DE = AC \cdot \dfrac{EB}{AB} = 12 \cdot \dfrac{2}{3} = 8. \]
\(\\\)

Ответ: 8.