Найдите все положительные значения параметра \(a\), при которых уравнение \[\log_{2-x} (a^{2+x} + 2a^{1-x} + x - 1) + \log_{2+x} (a^{2-x} + 2a^{1+x} - x - 1) = 2 \] имеет ровно одно решение (относительно \(x\)).

Решение

Если \(x_0\) \(-\) решение, то \(- x_0\) \(-\) тоже решение. Стало быть, если решение единственно, то \(0\) \(-\) решение. Подставляя \(x = 0\), получаем:
\[
\log_2 (a^2 + 2a - 1) = 1 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\log_2 (a^2 + 2a - 1) = \log_2 2 \quad\Leftrightarrow
\] \[
a^2 + 2a - 3 = 0 \quad\Leftrightarrow
\] \[
(a - 1)(a + 3) = 0.
\]

Поскольку \(a\) положительно, \(a = 1.\)

Подставляя в исходное уравнение \(a = 1,\) получаем:
\[
\log_{2-x} (2+x) + \log_{2+x} (2-x) = 2 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\log_{2-x} (2+x) + \dfrac{1}{\log_{2-x} (2+x)} = 2 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\dfrac{\log_{2-x}^2 (2+x) + 1 - 2 \log_{2-x} (2+x)}{\log_{2-x} (2+x)} = 0 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\dfrac{(\log_{2-x} (2+x) - 1)^2}{\log_{2-x} (2+x)} = 0 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\log_{2-x} (2+x) = 1 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\log_{2-x} (2+x) = \log_{2-x} (2-x) \quad\Leftrightarrow
\] \[
2-x = 2+x \quad\Leftrightarrow\quad x = 0
\]

Ответ: \(a = 1\).