Докажите, что \(n^3+5n\) делится на 6.

Решение

I способ: Преобразуем исходное выражение \(n^3+5n=n^3+6n-n=\) \(n^3-n+6n=(n-1)n(n+1)+6n.\) Произведение трёх последовательных чисел всегда делится на 6, так как одно из этих трёх чисел делится на 3 и хотя бы одно из них чётное, а \(6n\) делится на 6.
<br/><br/>
II способ: Рассмотрим остатки числа \(n\) по модулю 2 и 3.
Если \(n\,\equiv 0 \pmod 2\), то по свойству сравнений \(n^3 \equiv 0 \pmod 2\) и \(n^3+5n \equiv 0 \pmod 2.\)
<br/>
Если \(n \equiv 1 \pmod 2\), то по свойству сравнений \(n^3 \equiv 0 \pmod 2\) и \(n^3+5n \equiv 6 \equiv 0 \pmod 2,\) т.е. число \(n^3+5n\) всегда делится на 2.
<br/>
Если \(n \equiv 0 \pmod 3\), то по свойству сравнений \(n^3 \equiv 0 \pmod 3\) и \(n^3+5n=0 \pmod 3.\)
<br/>
Если \(n \equiv 1 \pmod 3\), то по свойству сравнений \(n^3 \equiv 1 \pmod 3\) и \(n^3+5n \equiv 6 \equiv 0 \pmod 3.\)
Если \(n \equiv 2 \pmod 3,\) то по свойству сравнений \(n^3 \equiv 2 \pmod 3\) и \(n^3+5n \equiv 12 \equiv 0 \pmod 3.\)
<br/>
Получили, что число \(n^3+5n\) на 2 и 3, т.к. эти числа взаимно просты, то число \(n^3+5n\) делится на 6.
<br/><br/>
III способ: Докажем делимость с помощью метода математической индукции.<br/>
При \(n=1\) исходное выражение \(1^3+5\cdot 1 = 6\) делится на 3, т.е. утверждение верно.<br/>
Пусть утверждение верно при \(n=k\), т.е. что \(k^3+5k\) делится на 6. Тогда докажем, что и при \(n=k+1\) утверждение верно, т.е. \((k+1)^3+5(k+1)\) делится на 6. \((k+1)^3+5(k+1)\) \(=\) \((k^3+5k)+3(k^2+k)+6\) \(=\) \((k^3+5k)+3k(k+1)+6\). Последнее выражение делится на 6, т.к. \(k^3+5k\) делится на 6 по предположению индукции, \(3k(k+1)\) делится на 6 как произведение чётного числа (одно из чисел \(k\) или \(k+1\) делится на 2) и 3, а НОД(2,3)=1. Значит, по принципу математической индукции, исходное утверждение верно для любого \(n\) натурального числа.

Ответ: .