Решить дифференциальное уравнение: \(xy^2=y-y′\).

Решение

\[xy^2=y-y′\]
\[y′-y=-xy^2\]
Делим на \(y^2\), получим \(\frac{y′}{y^2}-\frac{1}{y}=-x\).
Сделаем замену переменных:
\[u=\frac{1}{y} \Rightarrow y=\frac{1}{u}\]
\[u′=-\frac{y′}{y^2}\Rightarrow y′=-u′y^2\]
Получим:
\[-u′-u=-x\]
\[-u′=u-x\]
Подстановка:
\[v=u-x \Rightarrow v′=u′-1\]
\[-v′=v+1\]
\[-\frac{dv}{dx}=v+1\]
\[-dv=(v+1)dx\]
\[\frac{dv}{v+1}=-dx\]
\[\int \frac{dv}{v+1}=- \int dx\]
\[ \ln(v+1)=C-x\]
\[v+1=e^{C-x}\]
Обратная подстановка:
\[v=u-x\]
\[-x+u+1=\frac{C}{e^x}\]
Обратная замена:
\[u=\frac{1}{y}\]
\[\frac{1}{y}-x+1=\frac{C}{e^x}\]
Преобразим ответ, выразив y:
\[y=\frac{e^x}{(x-1)e^x+C}\]
Потерянное решение:\(y=0\).

Ответ: $$y=\frac{e^x}{(x-1)e^x+C}$$.