Найти каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки \(M_1(2,\sqrt{3}),\) \(M_2(0,2).\)

Решение

При подстановке координат \(M_1,\) \(M_2\) в общее уравнение эллипса \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) получим верное равенство:

\(\begin{cases}
\dfrac{2^2}{a^2}+\dfrac{(\sqrt{3})^2}{b^2}=1\\\
\dfrac{0^2}{a^2}+\dfrac{2^2}{b^2}=1
\end{cases}\)

Откуда \(a=4\), \(b=2\) (\(a,b > 0\) ).

Значит, уравнение искомого эллипса:

\(\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1.\)

Ответ: \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\).