Исследовать на абсолютную и условную сходимость:
\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin{\frac{\pi n}{4}}}{\ln n}\).

Решение

Проверим на абсолютную сходимость.
Берем такие \(n\), чтобы синус равнялся 1 или -1, тогда

\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \left|\frac{\sin{(\frac{\pi n}{4})}}{\ln n}\right|
\geq
\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \left|\frac{\sin{(\frac{4n-6}{4})}\pi}{\ln{(4n-6)}}\right|=
\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln{(4n-6)}}\). Последний ряд расходится, т.к. \(\frac{1}{\ln{(4n-6)}}\geq0\) и \(\frac{1}{\ln{(4n-6)}}\geq\frac{1}{(4n-6)} \sim \frac{1}{4n}\). \( \\ \)

Заметим, что функция \(\sin{(\frac{\pi n}{4})}\) периодичная и частичные суммы \(|S_n|\leqslant 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\), т.е. ограничены. Последовательность \(b_n=\frac{1}{\ln n}\) монотонно стремится к нулю, т.к. \(\ln n < \ln (n+1) \Rightarrow\)
\(\frac{1}{\ln n} >\frac{1}{\ln{(n+1)}}\), и \(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\ln n} = 0\). Получили, что \(S_n\) ограничена, \(b_n\) монотонно стремится к 0, т.е. по признаку Абеля-Дирихле ряд сходится условно.

Ответ: сходится условно.