Отношение трехзначного натурального числа к сумме его цифр – целое число.<br/>
а) Может ли это отношение быть равным 34? <br/>
а) Может ли это отношение быть равным 84? <br/>
а) Какое наименьшее значение может принимать это отношение, если первая цифра трехзначного числа равна 4?

Решение

а) Да, может, например, число 102 или любое число вида \(\overline{a0c},\) \(a=2\cdot c\) и \(c=1, 2, 3, 4.\)<br/>
б) Не может. Предположим, что отношение трехзначного натурального числа к сумме его цифр равно 84. Пусть \(n\) – это искомое число, а \(S(n)\) – это сумма цифр числа, тогда \(n=84\cdot S(n).\) Т.к. \(84 \,\vdots\, 3\), то исходное число \(n \,\vdots\, 3\) \(\Rightarrow\) по признаку делимости на 3 сумма цифр \(S(n) \,\vdots\, 3.\) Число \(n=84\cdot S(n)\) \(\Rightarrow\) \(n \,\vdots\, 9\) \(\Rightarrow\) по признаку делимости на 9 сумма цифр \(S(n) \,\vdots\, 9.\) Т.к. \(n=84\cdot S(n)\) \(\Rightarrow\) \(n \,\vdots\, 27\). Получим, что \(S(n)=9\cdot k\) \(\Rightarrow\) \(n_\text{min}=84\cdot 9k=756k.\) Отсюда, \(k=1\), т.е. число \(n\) может быть только \(756,\) но \(\frac{756}{7+5+6}=42\neq84\), т.е. это число не подходит.

Ответ: а) да; б) нет; в) 26.