Решите неравенство \(\log_{2x} 16 - \log_{4x} 8 \le 1.\)

Решение

\[\log_{2x} 16 - \log_{4x} 8 \le 1 \quad\Leftrightarrow
\] \[
4\log_{2x} 2 - 3\log_{4x} 2 \le 1 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\dfrac{4}{\log_2 2x} - \dfrac{3}{\log_2 4x} \le 1 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\dfrac{4}{\log_{2} 2 + \log_{2} x} - \dfrac{3}{\log_2 4 + \log_{2} x} \le 1 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\dfrac{4}{1 + \log_{2} x} - \dfrac{3}{2 + \log_{2} x} \le 1 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\dfrac{4(2 + \log_{2} x) - 3(1 + \log_{2} x) - (2 + \log_{2} x)(1 + \log_{2} x)}{(1 + \log_{2} x)(2 + \log_{2} x)} \le 0 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\dfrac{8 + 4\log_2 x - 3 - 3\log_2 x - 2 - 3\log_2 x - \log_2^2 x }{(1 + \log_{2} x)(2 + \log_{2} x)} \le 0 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\dfrac{-\log_2^2 x - 2\log_2 x + 3}{(1 + \log_{2} x)(2 + \log_{2} x)} \le 0 \quad\Leftrightarrow\quad
\] \[
\dfrac{(1 - \log_{2} x)(3 + \log_{2} x)}{(1 + \log_{2} x)(2 + \log_{2} x)} \le 0 \quad\Leftrightarrow
\] \[
\log_2 x \in (-\infty, -3] \cup (-2, -1) \cup [1, +\infty) \quad\Leftrightarrow
\] \[
x \in \left(0, \dfrac{1}{8} \right] \cup \left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2} \right) \cup [2, +\infty). \]

Ответ: \( \left(0, \dfrac{1}{8} \right] \cup \left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2} \right) \cup [2, +\infty)\).