Найти все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \(|x^2-a^2|=|x+a|\sqrt{x+a^2-2a}\)
имеет хотя бы два различных корня.

Решение

Исходное уравенение равносильно совокупности \(\begin{array}{l}\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2ax + {a^2} = x + {a^2} - 2a\\\left\{ \begin{array}{l}x = - a\\x + {a^2} - 2a\geqslant 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - (2a + 1)x + 2a = 0\\\left\{ \begin{array}{l}x = - a\\{a^2} - 3a\geqslant 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}(x - 2a)(x - 1) = 0\\\left\{ \begin{array}{l}x = - a\\a \in ( - \infty ;0] \cup [3; + \infty )\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2a\\x = 1\\\left\{ \begin{array}{l}x = - a\\a \in ( - \infty ;0] \cup [3; + \infty )\end{array} \right.\end{array} \right.\)

<p>Первые два корня существуют везде, кроме тех \(a\), когда корни \(x=2a\) и \(x=1\) совпадают, т.е. при \(a=\frac12\). Получаем, что при \(a\in( - \infty ;0) \cup [3; + \infty )\) будет три различных решения, а в промежутке \(a\in[0; \frac12)\cup (\frac12;3)\) будет два решения, т.е. условию задачи удовлетворяют все \(a\in( - \infty ;\frac12) \cup (\frac12; + \infty ).\)</p>

Ответ: \(a\in R/{\frac12}\).