Решить дифференциальное уравнение: \[(2x-4y+6)dx+(y+x-3)dy=0\]

Решение

Группируем по дифференциалам:
\[(y+x-3)dy=(4y-2x-6)dx\]
\[dy=\left(\frac{6-6x}{y+x-3} +4 \right)dx\]
Уранвение вида: \[y′=f \left(\frac{a_1y+b_1x+c}{ay+bx+c}\right) \] приводится к однородному уравнению с помощью преноса начала координат в точку пересечения прямых:
\[\begin{cases}
6-6x=0\\
y+x-3=0
\end{cases}
=
\begin{cases}
x=1\\
y=2
\end{cases}
\]
Подстановка:
\[y=y_1+2; dy=dy_1\]
\[x=x_1+1; dx=dx_1\]
\[dy_1=\left( 4-\frac{6x_1}{y_1+x_1}\right) dx_1\]
Мы получили однородное уравнение. Сделаем ещё одну подстановку:
\[u=\frac{y_1}{x_1}\]
\[y_1=ux_1\]
\[dy_1=udx_1+x_1du\]
Получим:
\[udx_1+x_1du=\left( 4-\frac{6}{u+1} \right) dx_1\]
Группируем по дифференциалам:
\[x_1du=\left( -\frac{6}{u+1} -u +4 \right) dx_1\]
\[\frac{(-u-1)du}{(u-2)(u-1)}=\frac{dx_1}{x_1}\]
\[\int \frac{-u-1}{(u-1)(u-2)}du=\int\frac{dx_1}{x_1}\]
Получим:
\[2 \ln(u-1)-3 \ln(u-2)=\ln(x_1)+C\]
\[\left(\frac{u-1}{u-2} \right) ^2=e^C x_1\]
Обратная замена:
\[u=\frac{y_1}{x_1}\]
\[\frac{\left( \frac{y_1}{x_1}-1 \right) ^2}{\left(\frac{y_1}{x_1}-2 \right) ^3}=C(x-1)\]
Обратная замена:
\[y_1=y-2; \hspace{0.3cm}x_1=x-1\]
\[C=\frac{y^2-(2x+2)y+x^2+2x+1}{(y-2x)^3}\]
Потерянный корень:
\[x=y-1\hspace{0.3cm}\text{входит в решение при } C=0.\]

Ответ: \[C=\frac{y^2-(2x+2)y+x^2+2x+1}{(y-2x)^3}\].