Решите уравнение \(ctg x - 2 ctg 2x =\frac{2}{3} \cos x\)

Решение

\(ctg x - 2 ctg 2x =\frac{2}{3} \cos x\) \(\iff \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos 2x}{\sin x \cos x} = \frac{2}{3} \cos x\) \(\iff \frac{sin^{2} x}{\sin x \cos x} = \frac{2}{3} \cos x\). ОДЗ: \(\sin 2x \neq 0\), учитывая это умножим на знаменатель и получим:
\(3\sin x = 2\cos^{2} x\) \(\iff 2\sin^{2}+3\sin x-2 = 0\). Решая это уравнение относительно \(\sin x\) получим, что \(\sin x = \frac{1}{2}\), при этом \(\sin 2x\) не обращается в ноль. Решением уравнения будет \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, k\in Z\) и \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z\)

Ответ: \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k, k\in Z\) и \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k, k\in Z\).