Решить дифференциальное уравнение: \[y=\frac{y′^2}{2}+2xy′+x^2\].

Решение

Домножuим на 2:
\[2y=y′^2+4xy′+2x^2\]
Уравнение не разрешенное относительно производной. Воспользуемся методом введения параметра:
\[p=y′,\hspace{0.3cm}\text{тогда }\hspace{0.3cm} p=y′=\frac{dy}{dx} \Rightarrow dy=pdx\]
\[y=x^2+2px+\frac{p^2}{2}\]
Возьмём полный дифференциал от обеих частей равенства:
\[dy=2xdx+2pdx+2xdp+pdp\]
Подстановка:
\[dy=pdx\]
\[pdx=2xdx+2pdx+2xdp+pdp\]
Делим на \(2x+p\):
\[\frac{pdx}{2x+p}=\frac{pdx}{2x+p}+dx+dp\]
\[0=dx+dp\]
\[-dx=dp\]
\[\int dx=- \int dp\]
\[x=C-p\]
Обратная подстановка:
\[y=-\frac{x^2-2Cx-C^2}{2}\]

Ответ: \[y=-\frac{x^2-2Cx-C^2}{2}\].