Решите дифференциальное уравнение \(\cos x \sin y\, dy=\cos y \sin x \, dx, y(\pi)=\pi\).

Решение

Разделим обе части на \(\cos x\cdot\cos y\) и вычислим интеграл:
\[\displaystyle\int \frac{\sin y\, dy}{\cos y} = \int \dfrac{\sin x dx}{\cos x} \]

\[\ln \cos y = \ln \cos x + C\]

Далее левую и правую часть возведём в степень \(e\), получим:
\[ \cos y=e^{С}\ cos x\]

Выразим функцию \(y\), получим: \(y = \mathop{\mathrm{arccos}}(C\cdot\cos x)\).

Тогда \(y(π)=π\) \( \Leftrightarrow \,\)
\(\pi = arccos(C\cdot\cos(\pi))\) \( \Leftrightarrow \,\)
\(\mathop{\mathrm{arccos}}(-C) = \pi\) \( \Leftrightarrow\,\)
\(-C = -1 \) \( \Leftrightarrow\,\)
\(C = 1\).

Ответ: \(y = \mathop{\mathrm{arccos}}(\cos x)\).