Дан параллелепипед \(ABCDA'B'C'D'\) с основаниями \(ABCD\) и \(A'B'C'D'\) и боковыми ребрами \(AA'\),\(BB'\),\(CC'\),\(DD'\). Все рёбра параллелепипеда равны. Плоские углы при вершине \(B\) также равны. Известно, что центр сферы описанной около тетраэдра \(AB'CD'\), лежит в плоскости \(AB'C\). Радиус этой сферы равен 2. Найдите длину ребра параллелепипеда.

Решение

Грани параллелепипеда являются ромбами. Поскольку плоские углы при вершине \(B\) равны, равны также и плоские углы при вершине \(D'\). Стало быть, \(AD'=B'D'=CD'\) как равные диагонали ромбов и, по той же причине, \(AB'=B'C=AC\). Таким образом, центр сферы, описанной около тетраэдра \(AB'CD'\), является центром окружности, описанной около правильного треугольника \(AB'C\), а также является основанием высоты тетраэдра, опущенной из вершины \(D'\). Отсюда получаем \(AB'=2\sqrt{3}\), \(AD'=2\sqrt{2}\). Итак, диагонали ромба равны \(2\sqrt{3}\) и \(2\sqrt{2}\), значит, его сторона равна \(\sqrt{5}\).