Решите неравенство \(\log_{x-1} (x+1) - log_{\sqrt{x-1}} (x+1) \geq 1\)

Решение

\(\log_{x-1} (x+1) - \log_{\sqrt{x-1}} (x+1) \geq 1 \iff \frac{\ln(x+1)}{\ln(x-1)}-\frac{2\ln(x-1)}{\ln(x+1)}-1 \geq 0 \iff \frac{\ln^{2} (x+1) - 2\ln^{2} (x-1) - \ln(x-1)\ln(x+1)}{\ln(x-1)\ln(x+1)} \geq 0 \\\).
Далее используем метод рационализации и не забываем ОДЗ: \(x>1\) и получим:\(\\\)
\(\frac{((x+1)-(x-1)^{2})((x+1)-(x-1)^{-1})}{(x-2)x} \geq 0 \iff \frac{x(3-x)(x-\sqrt{2}}{(x-2)x}\geq 0\).
Решением этого неравенства с учетом ОДЗ будет:\(x\in(1;\sqrt{2}]\cup(2;3]\)

Ответ: \(x\in(1;\sqrt{2}]\cup(2;3]\).