Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3, а сумма квадратов её членов равна 18. Найти сумму абсолютных величин членов прогрессии.

Решение

По формуле суммы геометрической прогрессии знаем, что:
\(\frac{b_1}{1-q} = 3\) и
\(\frac{b_1^2}{1-q^2} = 18\).
По условию требуется найти:
\(\frac{|b_1|}{1-|q|}\).

Выразим из первого равенства \(b_1\):
\(b_1 = 3(1-q)\) и подставим во второе выражение, получим: \(\frac{9(1-q)^2}{1-q^2} = 18\)
\( \Rightarrow\)
\(\frac{(1-q)^2}{(1+q)(1-q)} = 2\)
\(\Rightarrow\)
\(\frac{1-q}{1+q} = 2\)
\(\Rightarrow\)
\({1-q} = 2+2q \)
\(\Rightarrow\)
\({3q} = -1\)
\(\Rightarrow\)
\({q} = -\frac{1}{3}\).

Подставим найденное \(q\) в \(b_1 = 3(1-q)\) и получим
\(b_1 = 3(1-q) = 3\cdot\frac{4}{3} = 4\).

Тогда \(\frac{|b_1|}{1-|q|} = \frac{4}{1-\frac{1}{3}} = 4\cdot\frac{3}{2}=6\).

Ответ: 6.