Решить дифференциальное уравнение:
\(y^{\prime} (x^2-2)=2xy, y(2)=2.\)

Решение

\[y′(x^2-2)=2xy\]
\[\frac{dy}{dx} (x^2-2)=2xy\\ \]
\[\frac{dy}{y}=\frac{2xdx}{x^2-2}\\ \]
\[\frac{dy}{y}=\frac{d(x^2-2)}{(x^2-2}\\ \]
\[\int \frac{dy}{y}=\int \frac{d(x^2-2)}{x^2-2}\\ \]
\[ln|y|=ln|x^2-2|+C\\ \]
\[y=C\cdot(x^2-2)\\ \]
\[y(2)=2=C\cdot(2^2-2) \Rightarrow C=1\\ \]
Тогда частным решением будет: \[y=x^2-2.\]

Ответ: \(y=x^2-2\).