Исследовать на абсолютную и условную сходимость:

\(\ln{(1+1)}-\ln{(1 +\frac{1}{2})}+\ln{(1 +\frac{1}{3})}-\ln{(1 +\frac{1}{4})}\).

Решение

Исходный ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\ln{(1+\frac{1}{n})}\) знакочередующийся. Рассмотрим ряд из модулей \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \ln{(1+\frac{1}{n})}\).

Т.к. \(\ln{(1+\frac{1}{n})} \sim\frac{1}{n}\), то ряд из модулей эквивалентен гармоническому, т.е. расходится. Исследуем ряд на условную сходимость. Функция \(y=\ln x\) возрастающая. Покажем, что \(n\)-ый член ряда монотонно стремится к нулю. \(1+\frac{1}{n}> 1 + \frac{1}{n+1} \Rightarrow \ln{(1 +\frac{1}{n})}>\ln{(1 +\frac{1}{n+1})}\). Откуда получим, что
последовательность \(\ln{(1+\frac{1}{n})}\) монотонно убывает. Легко заметить, что она убывает к нулю. Значит,
по признаку Лейбница ряд сходится условно.

Ответ: сходится условно.