Найдите все значения параметра \(a\), при которых неравенство \(\sin^{6} x + \cos^{6} x + a\cdot\sin 2x \geqslant a^{2}\) выполняется для всех действительных \(x\).

Решение

Заметим, что \(\\\)
\(\sin^{6} x + \cos^{6} x = (\sin^{2} x + \cos^{2} x)(\sin^{4} x -\sin^{2} x \cos^{2} x+ \cos^{4} x)=\sin^{4} x -\sin^{2} x \cos^{2} x+ \cos^{4} x \\ =(\sin^{2} x + \cos^{2} x)^{2}-3\sin^{2} x \cos^{2} x = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2x\\\).
Положим \(t=\sin 2x\). Теперь задача в том, чтобы описать все значения \(a\), при которых для каждого \(t\in [-1;1]\), справедливо \(\\\)
\(3t^{2}-4at+4(a^{2}-1)\leq 0\).
Это выполняется тогда и только тогда, когда для \(f(t) = 3t^{2}-4at+4(a^{2}-1)\) справедливо \(f(-1)\leq 0\) и \(f(1)\leq 0\\\).
Для первого получим:\(4a^{2}+4a-1\leq 0 \iff \frac{-1-\sqrt{2}}{2}\leq a \leq \frac{-1+\sqrt{2}}{2}\\\)
А для второго: \(4a^{2}-4a-1\leq 0 \iff \frac{1-\sqrt{2}}{2}\leq a \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}\\\)
Таким образом обоим условиям удовлетворяет: \( \frac{1-\sqrt{2}}{2}\leq a \leq \frac{-1+\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: \( \frac{1-\sqrt{2}}{2}\leq a \leq \frac{-1+\sqrt{2}}{2}\).