Решите дифференциальное уравнение: \(y^{\prime} - 2xy = e^{x^2} \)

Решение

Решение производим через метод Лагранжа:

\[y^{\prime} - 2xy = 0\]
\[y^{\prime} = 2xy\]
\[\dfrac{dy}{dx} = 2xy\]
\[dy = 2xydx\]
Далее разделим на \(y\), при этом у нас теряется решение \(y=0\):
\[\dfrac{dy}{y} = 2xdx\]
\[\int_{} \dfrac{dy}{y} = \int_{} 2xdx\]
\[ln(y) = x^2 + C; y = e^{x^2 + C}; y = Ce^{x^2}\]
Далее подставляем C = u(x):
\[y=ue^{x^2}\]
Найдем u(x) постановкой в исходное уравнение:
\[u^{\prime}e^{x^2} = e^{x^2}\]
Делим на \(e^{x^2}\) и получаем:
\[u^{\prime} = 1; \dfrac{du}{dx} = 1; du = dx\]
\[\int_{} du = \int_{} dx\]
\[u = x+C\]
Подставляем в исходное:
\[y = (x+C)e^{x^2}\]

Ответ: \(y=(x+C)e^{x^2}\).