На высоте \(AH\) остроугольного треугольника \(ABC\) как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. Найдите отношение \(BH : HC\), если \(BD : DA = 2 : 1\) и \(AE : EC = 3 : 1\).

Решение

1. По \(\href{https://examp.info/theorem/teorema-o-kvadrate-kasatelnoj//}{\text{теореме о квадрате касательной}}\) следует, что

\[BH^2 = BD \cdot BA = \dfrac{2}{3} BA^2;\]

\[CH^2 = AC \cdot EC = \dfrac{1}{4} AC^2.\]

2. По \(\href{https://examp.info/theorem/pifagora//}{\text{теореме Пифагора}}\) из треугольников \(BHA\) и \(AHC\):

\[BA^2 - BH^2 = AH^2 = AC^2 - CH^2 \quad\Leftrightarrow \]

\[\Leftrightarrow\quad \dfrac{3}{2} BH^2 - BH^2 = 4 CH^2 - CH^2 \quad\Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow\quad\dfrac{BH^2}{2} = 3 CH^2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{BH^2}{CH^2} = 6 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{BH}{CH} = \sqrt{6}. \]

Ответ: \(\sqrt{6}\).