[МИСиС] Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение \(x^3+y^3+63xy=21^3\)?

Решение

Преобразуем исходное выражение: \(x^3+y^3+63xy=21^3 \Leftrightarrow\) \((x+y)(x^2-xy+y^2+63xy=23^3 \Leftrightarrow\) \((x+y)^3-3xy(x+y)+63xy-21^3=0 \Leftrightarrow\) \((x+y)^3-21^3-3xy(x+y-21)=0 \Leftrightarrow\) \( (x+y-21)((x+y)^2+21(x+y)+21^2)-3xy)=0.\) Получили, что \( x+y-21=0\) или \( (x^2-xy+y^2+21(x+y)+21^2=0.\) Второе выражение всегда больше 0, так как \( x, y \in \mathbb{N}\), т.е. останется условие, что \( x+y-21=0\). Решениями являются пары \( (1, 20), (2, 19), \ldots, (20, 1)\). Всего 20 пар.

Ответ: 20.