Ключом шифрсистемы служит таблица \(4\times4\), в каждую ячейку которой записана одна из цифр \(0, 1, 2\). При этом должны делиться на \(3\) сумма цифр в каждой строке, сумма цифр в каждом столбце, а также суммы цифр на каждой из двух диагоналей, отмеченных пунктиром. На рисунке приведен один из возможных вариантов ключа. Сколько существует всего различных ключей?\(\\\)
\[\begin{matrix}
1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 & 0
\end{matrix}\]

Решение

Указанную в условии таблицу \(4\times4\), можно построить следующим образом: положим элементы верхнего левого угла размеров \(3\times3\), произвольным образом, после чего заметим, что все оставшиеся элементы определяются однозначно из линейных (по модулю \(3\)) соотношений для строк и столбцов (при этом элемент в правом нижнем углу будет равен сумме по модулю \(3\) всех остальных элементов квадрата). Плюс к этому имеем два линейных соотношения для элементов диагоналей. Таким образом, общее число независимого выбора переменных \(a_{i,j}, i,j = 1,2,3\) равно \(7\). Следовательно, общее число ключей равно \(3^7 = 2187\).

Ответ: \(2187\).