Решите неравенство: \(13\cdot 3^{x^2} - 4\cdot 9^{x^2} \geqslant 3\).

Решение

\[13\cdot 3^{x^2} - 4\cdot (3^2)^{x^2} \geqslant 3 \Leftrightarrow 13\cdot 3^{x^2} - 4\cdot \left(3^{x^2}\right)^2 \geqslant 3. \\ \] \( \text{Пусть } 3^{x^2} = t. \text{Тогда:} \\\)
\[13 t - 4 t^2 \geqslant 3 \Leftrightarrow 13 t - 4 t^2 -3 \geqslant 0 \Leftrightarrow \\\] \[\Leftrightarrow t^2 - 3 \dfrac{1}{4} t + \dfrac{3}{4} \leqslant 0 \Leftrightarrow (t - 3)\left(t - \dfrac{1}{4}\right) \leqslant 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \leqslant t \leqslant 3 \\ \] \(\text{Делаем обратную замену:} \\ \)
\[\dfrac{1}{4} \leqslant 3^{x^2} \leqslant 3 \Leftrightarrow 3^{\log_3{\tfrac{1}{4}}} \leqslant 3^{x^2} \leqslant 3^1 \Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x^2 \geqslant -2\log_3{2} \text{ } (1) \\
x^2 \leqslant 1 \text{ } (2)
\end{array}\right.(*) \\ \] \( 1) \text{ } \log_3{2} > \log_3{1} = 0 \Rightarrow \log_3{2} > 0 \Rightarrow -2\log_3{2} < 0 \Rightarrow x^2 \geqslant -2\log_3{2} \text{ } \forall \text{ } x \in \mathbb R \\ \)
\(2) \text{ } x^2 - 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1) \leqslant 0 \Leftrightarrow -1 \leqslant x \leqslant 1 \\ \)
\(\text{Таким образом, } (*) \Leftrightarrow x \in [-1;1] \)

Ответ: \([-1;1]\).