Решите неравенство \(\log_{\sqrt{x-1}} \frac{x^{2}-7x+12}{x-5} \leqslant 2\)

Решение

\(\log_{\sqrt{x-1}} \frac{x^{2}-7x+12}{x-5} \leqslant 2\) \(\iff \frac{\ln \left(\frac{x^{2}-7x+12}{x-5}\right) - \ln(x-1)}{\ln (x-1)} \leqslant 0\).
ОДЗ: \(x>1\) и \(\frac{x^{2}-7x+12}{x-5} > 0\), откуда получаем ОДЗ неравенства:\(x\in(3;4)\cup(5;\infty)\).
Само неравенство преобразуется по методу рационализации таким образом:\(\frac{(x^{2}-7x+12)-(x-5)(x-1)}{(x-5)(x-2)} \leqslant 0\) \( \iff \frac{x-7}{(x-5)(x-2)} \geqslant 0\) и с учетом ОДЗ получаем \(x\in(3;4)\cup[7;\infty)\)

Ответ: \(x\in(3;4)\cup[7;\infty)\).