Вписанная в треугольную пирамиду \(ABCD\) сфера касается граней \(BCD\), \(ACD\), \(ABD\) и \(ABC\) в точках\(A_1, B_1, C_1, D_1\) соответственно. Известно, что \(D_1\) является точкой пересечения высот треугольника \(ABC\), что плоскости \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) параллельны и что радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\) в четыре раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника \(A_1B_1C_1\). Найдите отношение, в котором сфера делит отрезок \(DD_1\), считая от вершины \(D\).

Решение

Пусть \(O\) - центр сферы и пусть \(A_2,B_2,C_2\) - основания высот треугольника \(ABC\), опущенных из вершин \(A,B,C\) соответственно. Рассмотрим четырёхугольники \(OA_1A_2D_1,OB_1B_2D_1,OC_1C_2D_1\). Каждый из них состоит из двух равных прямоугольных треугольников. При этом катеты \(OD_1,OA_1,OB_1,OC_1\) равны. Из равенства расстояний от \(A_1,B_1,C_1\) до плоскости \(ABC\) следует, что равны углы \(D_1OA_1, D_1OB_1,D_1OC_1\), а стало быть, равны и углы \(D_1A_2A_1,D_1B_2B_1,D_1C_2C_1\). Значит равны отрезки \(D_1A_2,D_1B_2,D_1C_2\), то есть \(D_1\) является точкой пересечения биссектрис треугольника \(ABC\). При этом \(D_1\) - это ортоцентр \(ABC\). Стало быть, треугольник \(ABC\) правильный. Поскольку углы \(D_1A_2A_1,D_1B_2B_1,D_1C_2C_1\) равны, \(DD_1\) - высота пирамиды. Опустим из \(A_1\) перпендикуляр \(A_1D_2\) на \(DD_1\). Тогда радиус окружности, описанной около треугольника \(A_1B_1C_1\) равен \(A_1D_2\). Радиус же окружности, описанной около треугольника \(ABC\) равен \(AD_1\). Получаем, что \(A_2D_1=\frac{1}{2}AD_1=\frac{1}{2} \cdot 4A_1D_2=2A_1D_2\). Отсюда видим, что \(\angle D_1A_2A_1 =60^{\circ}\). Стало быть, \(DD_1=\sqrt{3}A_2D_1=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot OD_1=3OD_1\). Получаем, что искомое отношение равно \((DD_1-2OD_1):2OD_1=1:2\).

Ответ: 1:2.