Каждый из 28 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно \(S.\)
\(\\ \)
а) Привести пример, когда \(S<15\).
\(\\ \)
б) Может ли значение быть \(S\) равным 5?
\(\\ \)
в) Какое наименьшее значение могло принимать \(S\), если обе контрольные писали 10 студентов?

Решение

а) Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов за каждую, 4 студента писали первую контрольную работу и получили по 0 баллов, а 4 студента писали вторую контрольную работу и получили также по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 15, а \(S = \frac{{18 \cdot 20 + 0}}{28} = \frac{90}{7} < 15.\)
\(\\ \)
б) Пусть \(a\) – сумма баллов тех студентов, которые писали только одну контрольную работу, \(b\) – сумма наибольших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы, \(c\) – сумма наименьших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы, \(k\) – количество студентов, писавших обе контрольные работы. Заметим, что средние баллы по каждой контрольной работе равны 15, поэтому средний балл по обеим контрольным также равен 15. Всего было написано \(28+k\) контрольных работ. Значит общее количество набранных студентами баллов равно \(15 \cdot (28 + k) = 420 + 15k\). Тогда получаем:
\[a + b = 5,\\
a + b + c = 420 + 15k,\]
откуда \(S = \frac{{a + b}}{{28}} = \frac{{570 - c}}{{28}} \geqslant \frac{{570 - 10 \cdot 20}}{{28}} = \frac{{185}}{{14}}.\) С другой стороны, \(c \leqslant 20k,\) откуда получаем \(k \geqslant 56.\) Значит, указанная в условии ситуация невозможна.
\(\\ \)
в) Аналогично предыдущему пункту получаем:
\[a + b = S \cdot 28 = 28S,\\
a + b + c = 15 \cdot (28 + 10) = 570,\]
откуда \(c = 280 + 15k\). С другой стороны, \(c \leqslant 20k\), откуда получаем \(k \geqslant 56.\) Значит, указанная в условии ситуация невозможна.
\(\\ \)
Приведем пример, когда \(S = \frac{{185}}{{14}}.\) Если \(b = c = 200\) (то есть 10 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов за каждую), а \(a = 170\) (например, каждую контрольную писали по 9 студентов, из которых четверо получили по 10 баллов, а пятеро – по 9 баллов), то условия задачи выполнены и \(S = \frac{{185}}{{14}}.\)

Ответ: а) 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов за каждую, по 4 студента писали только одну контрольную работу из двух и получили по 0 баллов; б) нет; в) \(S = \frac{185}{14}\).