Дана возрастающая геометрическая прогрессия \(b_1, b_2, b_3, ... , \) состоящая из положительных чисел. Известно, что сумма первого и третьего членов этой прогрессии равна второму члену, умноженному на \(\dfrac{10}{3}\). Найдите отношение \(\quad b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}\quad\) к \(\quad b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5\).

Решение

Пусть \(q\) \(-\) знаменатель прогресcии.

\[b_1 + b_3 = \dfrac{10}{3} \cdot b_2\Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow b_1 + b_1 q^2 = \dfrac{10}{3} \cdot b_1 q\Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 1 + q^2 = \dfrac{10}{3} \cdot q \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow 3q^2 - 10 q + 3 = 0 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow (3q - 1)(q - 3) = 0 \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow q = 3\ \text{или}\ q = \dfrac{1}{3}.\]

Поскольку прогрессия возрастающая, \(q = 3\).

\(\dfrac{b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}}{b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5} = \dfrac{b_1 q^5 + b_2 q^5 + b_3 q^5 + b_4 q^5 + b_5 q^5}{b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5} = \dfrac{q^5 (b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5)}{b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5} = q^5 = 3^5 = 243.\)

Ответ: 243.