Решите неравенство \[\log_{\left|2x - \tfrac{1}{2}\right|} \left(x + 1 + \dfrac{1}{x} \right) \geqslant \log_{\left|2x - \tfrac{1}{2}\right|} \left(x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2} \right).\]

Решение

\(\textbf{Решение 1:}\)
\[\log_{\left|2x - \tfrac{1}{2}\right|} \left(x + 1 + \dfrac{1}{x} \right) \geqslant \log_{\left|2x - \tfrac{1}{2}\right|} \left(x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2} \right)\ \Leftrightarrow \]\[\Leftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} x + 1 + \dfrac{1}{x} > 0 \quad (1) \\ \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} 0 < \left|2x - \dfrac{1}{2}\right| < 1 \quad (2) \\ x + 1 + \dfrac{1}{x} \leqslant x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2} \quad (3) \end{array}\right. \\ \\ \left\{\begin{array}{l} \left|2x - \dfrac{1}{2}\right| > 1 \quad (4)\\ x + 1 + \dfrac{1}{x} \geqslant x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2} \quad (5)\end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \quad\quad (*) \]

\[1)\quad x + 1 + \dfrac{1}{x} > 0\ \Leftrightarrow\ \dfrac{x^2 + x + 1}{x} > 0 \ \Leftrightarrow\ \dfrac{\left(x + \tfrac{1}{2}\right)^2 + \tfrac{3}{4}}{x} > 0\ \Leftrightarrow\ x > 0.\]

\[2) \quad 0 < \left|2x - \dfrac{1}{2}\right| < 1 \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{array}\\ 0 < 2x - \dfrac{1}{2} < 1 \\ \\ -1 < 2x - \dfrac{1}{2} < 0\end{array}\right.\ \Leftrightarrow\ \left[\begin{array}\\ \dfrac{1}{2} < 2x < \dfrac{3}{2} \\ \\ -\dfrac{1}{2} < 2x < \dfrac{1}{2}\end{array}\right. \ \Leftrightarrow \ \left[\begin{array}\\ \dfrac{1}{4} < x < \dfrac{3}{4} \\ \\ -\dfrac{1}{4} < x < \dfrac{1}{4}\end{array}\right. \ \Leftrightarrow\ x \in \left(-\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{3}{4}\right). \]

\(3) \quad x + 1 + \dfrac{1}{x} \leqslant x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2} \quad\Leftrightarrow\quad x^2 + \dfrac{1}{x^2} - x - \dfrac{1}{x} \geqslant 0 \quad\Leftrightarrow \)
\(\\\)

\(\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^4 - x - x^3 + 1}{x^2} \geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x(x^3 - 1) - (x^3 - 1)}{x^2} \geqslant 0 \quad\Leftrightarrow \)
\(\\\)

\(\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x - 1)(x^3 - 1)}{x^2} \geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty). \)
\(\\\)

\(4) \quad \left|2x - \dfrac{1}{2}\right| > 1 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{array}\\2x - \dfrac{1}{2} > 1 \\ \\ 2x - \dfrac{1}{2} < -1\end{array}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{array}\\ 2x > \dfrac{3}{2} \\ \\ 2x < -\dfrac{1}{2}\end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\)
\(\\\)

\(\Leftrightarrow\quad \left[\begin{array}\\ x > \dfrac{3}{4} \\ \\ x < -\dfrac{1}{4}\end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad x \in \left(-\infty; -\dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{3}{4}; +\infty\right). \)
\(\\\)

\(5) \quad x + 1 + \dfrac{1}{x} \geqslant x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x - 1)(x^3 - 1)}{x^2} \leqslant 0 \quad \text{(см. пункт 3) }\quad\Leftrightarrow\quad \)
\(\\\)
\(\quad\Leftrightarrow\quad (x-1)^2 = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x = 1. \)
\(\\\)
\(\\\)
Итак, \(\quad(*) \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} x > 0 \\ \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x \in \left(-\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{3}{4}\right) \\ \\ x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \end{array}\right. \\ \\ \left\{\begin{array}{l} x \in \left(-\infty; -\dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{3}{4}; +\infty\right) \\ \\ x = 1 \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow \)
\(\\\)

\(\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} x > 0 \\ \\ x \in \left(-\dfrac{1}{4}; 0\right) \cup \left(0; \dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{3}{4}\right) \cup \{1\} \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow \)
\(\\\)

\(\Leftrightarrow\quad x \in \left(0; \dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{3}{4}\right) \cup \{1\} \).
\(\\\\\)

\(\textbf{Решение 2 (Авторское решение):}\)
Зафиксируем ОДЗ \(x: x > 0, x \ne \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4}.\) Далее заметим, что

\[x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2} = \left(x + 1 + \dfrac{1}{x}\right) \left(x - 1 + \dfrac{1}{x}\right) .\]

Стало быть, при \(x\) из ОДЗ

\[\log_{\left|2x - \tfrac{1}{2}\right|} \left(x + 1 + \dfrac{1}{x} \right) \geqslant \log_{\left|2x - \tfrac{1}{2}\right|} \left(x^2 + 1 + \dfrac{1}{x^2} \right) \ \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow\ \log_{\left|2x - \tfrac{1}{2}\right|} \left(x + 1 + \dfrac{1}{x} \right) \leqslant 0 \ \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow\ \left\{\begin{array}{l} x > 0, x \ne \dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{4} \\ \\ \dfrac{x^2 - 2x + 1}{x \left(\left|2x - \dfrac{1}{2}\right| - 1 \right)} \leqslant 0 \end{array}\right. \ \Leftrightarrow\]\[\Leftrightarrow\ x \in \left(0; \dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{3}{4}\right) \cup \{1\}.\]

Ответ: \(x \in \left(0; \dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{3}{4}\right) \cup \{1\}.\).