Исследовать на сходимость:

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+i}{n^2-i} \)

Решение

Преобразуем \(n\)-ый член ряда: \(\frac{n+i}{n^2-i} = \frac{(n+i)(n^2+i)}{n^4+1}=\frac{n^3-1}{n^4+1}+i\frac{n^2+n}{n^4+1}\). Тогда \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+i}{n^2-i} = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3-1}{n^4+1}+i
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n^2+n)}{n^4+1}\).

Исследуем на сходимость ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3-1}{n^4+1} \). Это знакоположительный ряд, \(\frac{n^3-1}{n^4+1} \sim \frac{1}{n}\). Исследуем на сходимость ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3-1}{n^4+1}\), расходится, т.к. он эквивалентен гармоническому ряду.

Ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3-1}{n^4+1}+i \cdot \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n^2+n)}{n^4+1}\)
расходится, т.к. для сходимости этого ряда, должны обе части (действительная и мнимая) сходиться.

Ответ: расходится.