На координатной прямой отмечены \(9\) точек с координатами \(2; 25; 7; −3; 12; 19; −5; 8; 9\). Найдите координату точки, сумма расстояний от которой до указанных \(9\) точек минимальна. Ответ обоснуйте.

Решение

Расположим числа в порядке возрастания: \(−5; −3; 2; 7; 8; 9; 12; 19; 25\). Покажем, что выделенное среднее число \(8\) является искомым. Обозначим \(s(y)\) - сумма расстояний от числа \(y\) до остальных чисел. Рассмотрим число \(y = 8 + x\). Если \(x \in (0; 1)\), то сумма расстояний от \(y\) до первых четырех чисел увеличится на \(4x\), а до последних четырех – уменьшится на \(4x\) (по сравнению с числом \(8\)), и при этом до самого числа \(8\) расстояние равно \(x\), то есть \(s(y) = s(8) + x\). Если \(x = 1\), то есть \(y = 9\), то сумма расстояний от \(y\) до всех чисел будет равна \(s + 1\). Рассуждая аналогично при \(x \in (1; +\infty)\), получим вывод: минимальное значение \(s(y)\) достигается при \(y = 8\). При отрицательных значениях \(x\) рассуждения ничем не отличаются.

Ответ: \(8\).